对非线性振动问题的常用求解方法

非线性振动问题的研究通常包括定性研究与定量研究。定性研究的主要内容包括方程解的存在性、**性、周期性和稳定性的研究等；定量研究包括方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等。非线性方程的求解方法有**解法和近似解法，这些方法是

（ 1）分析方法。

（ 2）数值方法。

（ 3）图解方法。

（ 4）实验方法。

用分析方法求非线性方程的**解一般仅对少数特殊的两个自由度以下的非线性方程有效，求方程的**解的方法有直接积分法与分段积分法。对于多数弱非线性的单自由度或多自由度系统，只能求出其近似解。

求近似解的方法有以下几种:

（ 1）等价线性化法；

（ 2）里兹-迦辽金法；

（ 3）谐波平衡法；

（ 4）迭代法；

（ 5）传统小参数法；

（ 6）多尺度法；

（ 7）平均法；

（ 8）渐近法。

此外，能量法有时可用来**求解，而有时只能用于近似计算。数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。图解方法在研究单自由度非线性振动系统是一种不可缺少的方法，在相平面上进行作图的各种方法，例如，等倾线作图法，点映射与胞映射法等，对于不同的非线性振动方程都是有效的。在工程中应用*广的是分析方法与数值方法。实验方法也很重要，但由于需具备一些试验必需的仪器和设备，仅在一些必要的条件下使用。目前由于计算技术的发展，在一定情况下和范围内可由计算机仿真代替部分试验工作。后面各章将着重介绍分析方法，但对其它一些方法，如数值方法、图解方法也作了介绍。

计算与思考

1． 非线性振动系统的运动方程式有那些特征？ 按照作用力的非线性特征非线性振动系统有那几种？

2． 请分别举出惯性力项为非线性的、阻尼力项为非线性的及弹性力项为非线性的非线性振动系统的两个工程实际例子。

3． 请举出两个慢变参数振动系统的工程实例。

4． 试应用过去学习过的牛顿法、达伦培尔原理、动静法、拉格朗日方法建立非线性运动方程式（如未学习过这些方法，可参阅有关参考书，并掌握这些方法）。

5． 写出*常见的非线性振动系统的典型方程式。

6． 定性分析和定量分析包括哪些具体内容？

7． 求解非线性振动问题的方法有解析方法、数值方法、图解方法和实验方法，这些方法各有哪些特点？

8． 按照你的观点和掌握的知识，举出在非线性振动理论及其应用的领域有哪些重要的问题亟待解决？